La conférence de médaillé de Manjul Bhargava
Manjul Bhargava l'avait promis : sa conférence de lauréat de la médaille Fields serait accessible au plus grand nombre. Promesse tenue par l'Indo-Américano-Canadien, qui nous a livré une performance formidable d'éloquence, de clarté et de pédagogie, intitulée Rational points on elliptic and hyperelliptic curves.
Une histoire de carrés
C'est en véritable conteur que Manjul Barghava commence son exposé en partant de cette simple question : dans quel cas une expression mathématique peut s'exprimer comme le carré d'un nombre entier ? Question qui taraude les mathématiciens depuis l'Antiquité puisqu'on trouve dès 2500 avant J.C., en Egypte et dans le nord de l'Europe notamment, des pierres gravées de triangles rectangles dont les côtés sont bien des nombres entiers de mesures utilisées à cette époque. Question évidemment présente dans le Théorème de Pythagore.
Avancer en douceur
Le médaillé poursuit en douceur en citant d'autres équations qui, comme celle de Pythagore, sont sous-tendues par cette même question : équation de Pell ny2 = ± 1 (occasion de rappeler un théorème du mathématicien indien du VIIe siècle Brahmagupta, qui parle d'une infinité de solution pour n non carré et donne la manière de les construire), Fermat, puis Ramanujan... et ainsi de suite jusqu'à des travaux récents, aux théorèmes qui lui ont justement valu sa récompense, ou à des problèmes encore ouverts comme la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer (ou conjecture BSD, qui prédit que pour toute courbe elliptique sur le corps des rationnels, l'ordre d'annulation en 1 de la fonction L associée - c'est à dire le rang analytique - est égal au rang de la courbe), un des fameux problèmes à un million de dollars de la Fondation Clay. En passant, il aura défini les courbes hyperelliptiques et elliptiques, se sera demandé combien de points rationnels elles contiennent, aura montré que les points rationnels d'une telle courbe forment un groupe (au sens algébrique), aura introduit des termes de topologie ou de géométrie algébrique comme le genre d'une courbe ou son rang...
On avancera toujours dans cet exposé avec une impression d'évidence - comme si chaque idée menait tout naturellement et sans effort à la suivante - et le sentiment de tout comprendre - talent de Bhargava mais aussi magie de la théorie des nombres où des travaux extrêmement complexes et féconds trouvent parfois leur origine dans des problèmes s'énonçant très facilement.
Des probabilités là où on ne les attend pas
Ceci est un résultat prouvé par Bhargava (résultat de travaux menés en collaboration avec Arul Shankar, Chris Skinner et Wei Zhang). L'apparition d'un pourcentage dans un théorème de théorie des nombres surprend, mais il paraît qu'il va falloir s'y habituer.
A voir prochainement
L'interview vidéo de Manjul Bhargava réalisée par la FSMP (mise en ligne prévue pour mi-septembre).
Tenez, en parlant de courbes elliptiques...
Le lecteur non-mathématicien appréciera certainement cette conférence de Marc Hindry, professeur à l'Université Paris-Diderot, intitulée Les courbes elliptiques racontées à mes enfants.
Photos : Merci à l'étudiant coréen dont je ne saurais dire le nom (sa signature est faite de caractères incompréhensibles pour moi) mais qui m'a gentiment envoyé les photos qu'il a prise durant cette conférence.
